ご参考になるか分かりませんが、私の家にも庭に何とかしたい大きな石があります。
ある日、植木屋さんに聞いてみたら、「今は植木やってる家も少ないし、石の引き取りもやってないよ。埋めちゃう手もあるね。」と言われて考えました。
埋めるにはどうすべきか？
結果、すっかり埋めることは出来ませんでしたが、地表に出る部分は小さく低く出来ました。
少し移動させながら埋めてゆくやり方です。
移動させる方向に石の周りを掘っていってある程度掘れたら、鉄パイプをテコの原理で少しずつ動かしてゆくやり方です。石と土の接する面を減らしてゆく事で、石も動きやすくなります。ガーデンホースで水を石と土の接する所を目掛けてジェットしたり、、。
イメージできるか、鉄パイプのようなものがお手元にあるか分かりませんが、地道な作業ですが、出来ないことはないと思います。
移動させてた時の画像があったので、一枚添付します。